Introduction aux probabilités dans les espaces fonctionnels

Charles SUQUET

UMR 8524 CNRS et Université Lille I

Ce cours présente quelques aspects des théorèmes limites pour des suites d'éléments aléatoires d'espaces de Banach, en focalisant en vue des applications sur le cas des espaces de fonctions. On aborde la généralisation à ces espaces de la loi forte des grands nombres, du théorème limite central et du théorème limite central fonctionnel. La géométrie de l'espace de Banach considéré joue ici un rôle important. En considérant un processus stochastique comme un élément aléatoire d'un espace fonctionnel supportant ses trajectoires, on obtient des applications statistiques des théorèmes limites, par exemple pour déterminer la loi asymptotique de statistiques de test.

• Éléments aléatoires d'un espace de Banach séparable (v.a. de Radon). Espérance (intégrale forte). Fonctionnelle caractéristique.

• Convergence en loi. Équitension, plate concentration, espaces Schauder décomposables.

• Éléments aléatoires gaussiens.

• Sommes d'éléments aléatoires indépendants.

• Type et cotype d'un espace de Banach.

• Lois des grands nombres.

• Théorème limite central. Exemples de T.L.C. dans des espaces de Banach particuliers.

• Théorème limite central fonctionnel de Kuelbs.

• TLC et TLCF dans les espaces de Hölder et applications statistiques.